Rotordynamik

Mit den Anfängen meiner Hubschrauber-Fliegerei kam immer mehr die Frage auf, was passiert da eigentlich genau?
Grundlegende Dinge waren schnell klar, der Teufel steckt im Detail. Je genauer man schaut, umso komplexer werden die Fragen, die plötzlich im Raum stehen. Anfangs wollte ich nur den "einfachen" Fall Schwebeflug betrachten.
Gedanklich habe ich das Rotorblatt in mehrere kleine Rotorblatt-Teilchen unterteilt. Je weiter außen sie sind, desto höher ist die Geschwindigkeit und die Re-Zahl an diesem Rotorblatt-Teilchen.
Die hier folgenden Beispiele stammen von meinem Messdaten-Heli, einem T-Rex 600, mit "X-Pert GCT" Rotorblättern vom Blattschmied.
Umfangsgeschwindigkeit Re Zahl

Der geometrische Anstellwinkel ist, da das Rotorblatt nicht geschränkt (verwunden) ist, überall gleich. Dann wird der (erste Iterartions-) Anstellwinkel mit α = 2° gewählt. Stellvertretend für die anderen Rotorblattstellen soll hier die 75%-Stelle gezeigt werden. Oben wurde (bei r=75%) eine Re-Zahl von 350 941 errechnet. Die aus dieser Re-Zahl und der Profillänge von 51mm resultierenden aerodynamischen Eigenschaften werden in den nächsten Bildern gezeigt.
Profil NACA 0015 cpv-Druckverteilung Profil NACA 0015 cpx-Druckverteilung Profil NACA 0015 Polaren-Schar

Somit ist der (über die Rotorblattlänge) summierte Auftrieb... Halt!
Der Auftrieb hängt von dem resultierenden Anstellwinkel, nicht von dem geometrischen Anstellwinkel ab. In dem hier betrachteten Fall Schwebeflug gibt es einen vom Hubschrauber erzeugten Abwind, in dem er sich selbst befindet.
Warum gibt es diesen Abwind und wie groß ist er?
Impulssatz Impulssatz

Auch ein Hubschrauber wird von der Erde angezogen (Schwerkraft), wenn er bewegungslos an einer Stelle schwebt. Um dies zu können, muss er eine gleich große, aber genau anders herum wirkende Kraft erzeugen, die die Schwerkraft aufhebt. Erreicht werden kann dies, indem Luft nach unten "gepresst" bzw. beschleunigt wird. Es spielt keine Rolle, ob viel Luft ein wenig, oder wenig Luft sehr viel beschleunigt wird. Die Physiker würden sagen, es muss nur der auf die Luft ausgeübte Impuls gleich dem Impuls sein, mit dem die Erde den Hubschrauber zu sich bewegen will.
Es gibt jedoch eine kleine Einschränkung: Der Durchmesser der bewegten Luftmenge ist durch die Länge der Rotorblätter schon festgelegt. Somit kann die nötige durchschnittliche Vertikalgeschwindigkeit der nach unten beschleunigten Luft ermittelt werden.

Da das Gewicht der Luft pro Volumen (die Dichte) von Luftdruck, Temperatur und Luftfeuchtigkeit abhängt, ist hier ein Diagramm zu sehen, in dem die Dichte abgelesen wird. Der Umgebungsluftruck ist 1013 hPa, die Temperatur auf der X-Achse und die Kurvenschar stellt die verschiedenen relative Feuchte Linien dar. Bei z.B. 20°C geht man nach oben bis zu der 70% Linie, von dort gerade rüber zur Y-Achse und ermittelt die Dichte (ρ)= 1,1939 Kg/m³.
Luftdichte

Der zu untersuchende Hubschrauber hat einen Rotordurchmesser von D= 1,35 m und wiegt flugfertig (mit Messtechnik) G= 3,5 Kg.
Die Rotorkreisfläche ist:
F= π ∗ D² / 4
F= 3,14 ∗ 1,35² / 4 ⇒ F= 1,4314m²
Das ergibt eine (Kreis-) Flächenbelastung von:
G/F = 3,5/1,4314 ⇔ G/F = 2,445 Kg/m² bzw. 24,45 g/dm²
T-REX 600 T-REX 600

Im ersten Schritt wird die Luftmenge (Volumen) ermittelt, die genauso schwer ist, wie der Hubschrauber. Bei einer Luftdichte von 1,1939 Kg/m³ (siehe Diagramm oben), muss ein gleichschweres Luftvolumen so groß sein:
V= Gewicht/Dichte
V= G/ρ ⇔ V= [Kg] / [Kg/m³]
V= 3,5/1,1939 ⇒ V= 2,9316 m³
Von einer zylindrischen Luftsäule (Ø = Rotordurchmesser) ausgehend, muss sie folgende Höhe haben:
H= Volumen/Fläche
H= V/F ⇔ H= [m³] / [m²]
H= 2,9316/1,4314 ⇒ H= 2,048 m
Diese 2,048 m hohe zylindrische Luftsäule wiegt genauso viel wie der Hubschrauber.
Luftwaage

Statisch wäre somit ein Gleichgewicht hergestellt. Halt!
Dabei wurde jetzt aber übersehen, dass die Luftsäule von alleine an dieser Stelle stehen / schweben würde, wenn man nichts macht. Der Hubschrauber nicht...

Soll der Hubschrauber nicht runter fallen, muss stattdessen die Luft nach unten "fallen". Im Schwebeflug wird jede Sekunde Luft nach unten gedrückt bzw. beschleunigt. Dadurch wird eine Kraft erzeugt, die der Gewichtskraft des Hubschraubers entspricht (nur andersrum gerichtet ist).
Wird das Gewicht des Hubschraubers mit der Erdbeschleunigung multipliziert, erhält man die (Gewichts-) Kraft, mit der der Hubschrauber von der Erde angezogen wird.
Leider ist die Erdanziehung (der bekannte Wert: g = 9,81 m/s²) nicht überall auf der Erde gleich. Immerhin ist er auf einem Breitengrad konstant, aber mit zunehmender Flughöhe ändert er sich auch. In dem ersten Bild ist die betrachtete Höhe von 10 Km, bewusst (maßstäblich gesehen) deutlich zu groß gewählt, damit Details zu erkennen sind.
Erdbeschleunigung Erdbeschleunigung Erdbeschleunigung
Da möchte man mal was besonders genau machen und muss dann erfahren, das der allgemein benutzte Wert (g= 9,81 m/s²) für Darmstadt und meinen hauptsächlich genutzen Modellfluglatz recht exakt ist. Da ich aber auch im Urlaub Messflüge an der Ostsee (Nähe Greifswald) mache, kann ich immerhin diese Flüge mit der dort geltenden Erdbeschleunigung auf Darmstädter Verhältnisse umrechnen.

Ort Breitengrad Höhe Erdbeschleunigung
Modellflugplatz
bei Darmstadt
49,846383° 87,6 m ü.NN 9,81025 m/s²
Schmoldow
bei Greifswald
53.968329° 20,6 m ü.NN 9,81409 m/s²
Der aus der verschiedenen Erdbeschleunigung resultierende Gewichtsunterschied (Zuhause ⇔ Urlaub) würden bei meinem Messheli mit 3,5 Kg (in Darmstadt gewogen ) ca. 13,4 Gramm entsprechen. Im Urlaub wiegt der Heli somit nicht 3,500 Kg sondern 3,5134 Kg...

Fg = G ∗ g ⇔ Fg = [Kg] ∗ [m/s²]
Fg = 3,5 ∗ 9,81 ⇒ Fg = 34,335 N

Wird nun eine Sekunde Schwebeflug betrachtet, so wirkt die Gewichtskaft eine Sekunde lang. In der Physik wird Kraft mal Zeit als Impulsänderung bezeichnet. Damit der Hubschrauber auf der Stelle schweben kann, muss seiner Impulsänderung begegnet werden.
Zur Erinnerung hier ein Bild mit den Zusammenhängen zwischen Beschleunigung, Geschwindigkeit und zurückgelegter Strecke.
Impulssatz

Die Impulsänderung (des Helis) ist:
ΔIH = GewichtskraftHeli ∗ Zeit
ΔIH = Fg ∗ Δt ⇔ ΔI = [N] ∗ [s]
ΔIH = 34,335 ∗ 1 ⇒ ΔIH = 34,335 Ns

Die Luft in der Rotorscheibe muss ebenfalls eine Impulsänderung von 34,335 Ns (nach unten) erfahren, damit der Hubschrauber schwebt. Physikalisch ist es egal, ob für den Impuls eine Kraft eine gewisse Zeit anhält, oder eine Masse eine Geschwindigkeit hat. Noch immer auf der Suche der Luft-Vertikalgeschwindigkeit, bietet sich hier der zweite Weg an.
Ruht die Luft bisher, so zwingen wir ihr eine Geschwindigkeit auf. Hat die Luft schon eine Eigenbewegung / Geschwindigkeit (nach unten), so erhöhen wir die Geschwindigkeit. In beiden Fällen betrachten wir eine höhere Luftgeschwindigkeit (Delta v bzw. die induzierte Geschwindigkeit ⇒ vi). Halt!

Zwischen Geschwindigkeit und Geschwindigkeit muss unterschieden werden. Direkt unter dem Rotor bzw. der Rotorebene gibt es eine Geschwindigkeit (vi) und deutlich tiefer eine Andere (Delta v). Diese beiden Geschwindigkeiten sind nicht gleich!
Strahltheorie
Der Grund ist die Energie, die der Rotor an die Luft abgibt. Dabei wird nicht nur die Luft nach unten beschleunigt, sondern auch verdichtet. Die Luftkompression beschleunigt die Luft noch mehr nach unten, als es der Rotor bereits (vi) getan hat. Weiter unten herrscht normaler Umgebungsluftdruck und die komprimierte Luft will sich wieder entspannen. Daher erhöht sich die Luftgeschwindigkeit unterhalb der Rotorebene solange, bis der Überdruck komplett in Bewegung (Geschwindigkeit) umgewandelt ist.

Die Geschwindigkeitsänderung (unten ⇒ an Stelle 4, wo der lokale Druck wieder dem Umgebungsdruck entspricht) ist:
v4 - v1 = 2 ∗ vi
Somit ist die induzierte Geschwindigkeit (direkt unter dem Rotor):
vi = (v4 - v1) / 2
Aktuell wird der Schwebeflug betrachtet, darum ist v1 = 0.
⇒ vi = v4 / 2 ⇔ v4 = 2 ∗ vi
Zusammenfassung:
Würde der Hubschrauber nicht an dieser Stelle schweben, so wäre die Luft dort in Ruhe und v4 = 0. Er ist dort im Schwebeflug und darum hat die Luft die Geschwindigkeit v4. Die Geschwindigkeitsänderung der Luft, die der Hubschrauber verursacht, ist somit v4 bzw. 2 ∗ vi.

Die Impulsänderung (der Luft unten ⇒ an Stelle 4) ist:
ΔIL = MasseLuft ∗ Geschwindigkeitsänderung
ΔIL = mL ∗ 2 ∗ vi ⇔ ΔIL = [Kg] ∗ [m/s]
Blöd ist nur, dass die Masse der Luft unbekannt ist. Aber die Fläche, durch die die Luftmasse im untersuchten Zeitraum durch muss, ist bekannt. Darum wird anstatt der Luftmasse, das Luftvolumen mit der Dichte multipliziert angesetzt. Von dem Luftvolumen fehlt jedoch noch die Höhe des Luftzylinders. Die oben ermittelte statische Luftsäule ist hier leider nicht zu gebrauchen. Die gesuchte Zylinderhöhe ist aber doch auch die Strecke, die die Luft im untersuchten Zeitraum (1 Sekunde) vertikal zurücklegt (induzierte Luftgeschwindigkeit).

Zwischenrechnung MasseLuft:
mL = Rotorkreisfläche ∗ induzierte Luftgeschwindigkeit ∗ Zeitraum ∗ Luftdichte
mL = F ∗ vi ∗ Δt ∗ ρ ⇔ mL = [m²] ∗ [m/s] ∗ [s] ∗ [Kg/m³]
mL = 1,4314 ∗ vi ∗ 1 ∗ 1,1939 ⇒ mL = 1,7089 ∗ vi

Zurück zur Impulsänderung der Luft:
ΔIL = mL ∗ 2 ∗ vi ⇔ ΔIL = (F ∗ vi ∗ Δt ∗ ρ) ∗ 2 ∗ vi
ΔIL = F ∗ Δt ∗ ρ ∗ 2 ∗ vi²

Werden jetzt beide Impulsänderungen (für den Heli und die Luft) gleich (und für Fg = G ∗ g) gesetzt, kann vi bestimmt werden.
ΔIH = ΔIL
G ∗ g ∗ Δt = F ∗ Δt ∗ ρ ∗ 2 ∗ vi²
⇔ G ∗ g = F ∗ ρ ∗ 2 ∗ vi²
⇔ vi² = G ∗ g / (2 ∗ ρ ∗ F)
vi = √(Heligewicht ∗ Erdbeschleunigung / (2 ∗ Luftdichte ∗ Rotorkreisfläche))
vi = √(G ∗ g / (2 ∗ ρ ∗ F)) ⇔ vi = √([Kg] ∗ [m/s²] / ([ ] ∗ [Kg/m³] ∗ [m²]))
vi = √(3,5 ∗ 9,81 / (2 ∗ 1,1939 ∗ 1,4314)) ⇒ vi = 3,1695 m/s

Der Impulssatz bzw. die Strahltheorie geht davon aus, dass die Luft an allen Stellen in der Rotorfläche gleichmäßig stark beschleunigt wird. In dem hier folgenden Bild ist bewusst die Vertikalgeschwindigkeit zeichnerisch viel zu groß gewählt, um auf die an jeder Stelle unterschiedlichen resultierenden Anstellwinkel überdeutlich zeigen zu können. Zusätzlich ist der eingangs gewählte geometrische Anstellwinkel von 2° in dem Bild nicht gezeigt, um die Zusammenhänge Schritt für Schritt zeigen zu können.
Anstellwinkel
Innen, in der Nähe der Rotorwelle, bewirkt der gleichmäßig verteilte Abwind einen viel größeren induzierten Anstellwinkel, als außen.

An der Stelle y=75% ergibt sich ein induzierter Anstellwinkel von:
induzierter Anstellwinkel= Arkustangens (induzierter Abwind / Tangentialgeschwindigkeit)
αi(75%) = atan(vi / vt(75%))
αi(75%) = atan(3,1695 / 79,5)= 2,283°

Der Anstellwinkel den das Rotorblatt an dieser Stelle sieht, ist der effektive Anstellwinkel.
αeff(75%) = αg(75%) - αi(75%)
αeff(75%) = 2,0° - 2,283°= -0,283°

Oh... das Rotorblatt wird an der Stelle Y=75% mit einem negativen Anstellwinkel angeströmt.
Da das Profil symmetrisch ist, bedeutet dies: Der Rotor erzeugt hier Abtrieb!
Trotzdem werden die Winkel im folgenden Bild "normal" aufgetragen, als ob hier Auftrieb erzeugt würde.
Anstellwinkel

Der Fauxpas (was den negativen effektiven Anstellwinkel angeht) wird vorerst nicht weiter beachtet, sondern streng nach Schema "F" weiter gemacht.

Durch den induzierten Abwind ergibt sich mit der Tangentialgeschwindigkeit ein resultierendes Geschwindkigkeitsdreieck. Die Hypotenuse stellt die neue Anströmgeschwindigkeit dar.
v75% = √(vt(75%)² + vi(75%)²)
v75% = √(79,5² + 3,17²)= 79,56 m/s

Aus dieser Anströmgeschwindigkeit wird die neue Re-Zahl berechnet.
Re= Luftdichte ∗ Strömungsgeschwindigkeit ∗ Profillänge / dynamiche Viskosität
Re= ρ ∗ v ∗ t / η
mit ρ= 1,1939 [Kg/m³] (20° und 70% Luftfeuchtigkeit)
mit t= 51 [mm] ⇔ 0,051 [m] (Rotorblatt-Tiefe)
mit η= 18,24*10-6 [Pa*s] bzw. [N∗s/m²] bzw. [Kg/(m∗s)] bei 1bar und einer Temperatur von 20°
Re= 1,1939 ∗ 79,56 ∗ 0,051 / 18,24∗10-6 = 265 588

Mit der Re-Zahl und den effektiven Anstellwinkel wird das Profil NACA 0015 im Programm XFoil berechnet.
NACA 0015 mit -0,283 Grad

Unter Beachtung einer reibungsbehafteten Luftströmung, kommen aus dem XFoil u.a. die Koeffizienten ca, cw und cm heraus.
ca= -0,0295
cm= -0,0010
cw= 0,00919

Spätestens jetzt, mit dem negativen ca, ist klar, dass die oben ermittelte induzierte Vertikalgeschwindigkeit (zumindest an der 75%-Stelle des Rotorblattes), nicht stimmen kann. Warum sollte denn die Luft (an dieser Stelle) mit 3,17 m/s nach unten strömen, wenn das Profil doch Abtrieb erzeugt? Dann müsste die Luft eher von unten nach oben strömen.
Weiter innen am Rotorblatt wird das Thema "Auftrieb" immer düsterer. An der Blattspitze (y=100%) beträgt αi = 1,71°.
Von den 2° geometrischen Anstellwinkel abgezogen verbleibt ein effektiver Anstellwinkel (bei y=100%) von 0,29°.
Dieser kleine Anstellwinkel, der erst ganz außen wirkt, wird es vermutlich nicht schaffen, den Hubschrauber in der Luft zu halten.

Hieraus ergeben sich zwei Aufgaben:
1.) Der zuerst "geratene" geometrische Anstellwinkel von 2° ist zu klein und muss erhöht werden.
2.) Die Idee einer über die Rotorfläche konstante Abwindgeschwindigkeit ist nicht haltbar.

Die erste Aufgabe ist sehr schnell lösbar:
Hiermit wird ein neuer (geratener) geometrische Anstellwinkel von 5° festgelegt.
Die zweite Aufgabe wird auf später vertagt.

Auf Grund des neuen geometrischen Anstellwinkels lauten (an den jeweiligen Rotorblattpositionen) die effektiven Anstellwinkel, Geschwindigkeiten, Re-Zahlen und XFoil-Werte jetzt so:
y   v(y) RE   αeff(y) αg(y) - αi(y) αeff(y)   ca(y)XFOIL cm(y)XFOIL cw(y)XFOIL
25%   26,69 m/s 89 097   αeff(25%) 5,0° - 6,820° -1,820°   -0,4016 0,0315 0,01934
50%   53,09 m/s 177 225   αeff(50%) 5,0° - 3,422° 1,578°   0,1819 0,0042 0,01241
75%   79,56 m/s 265 588   αeff(75%) 5,0° - 2,283° 2,717°   0,2933 0,0074 0,01064
100%   106,05 m/s 354 016   αeff(100%) 5,0° - 1,713° 3,287°   0,3791 0,0036 0,01151

Der nächste Schritt ist das Umrechnen der XFoil Beiwerte in das "Hubschrauber"-Koordinatensystem. Dazu muss an jeder Stelle (des Rotorblattes) das XFOIL-Koordinatensystem um den Winkel αi(y) zurück gedreht werden.

Koordinatentransformation:
Koordinatentransformation
ca(y)H= ca(y)XFOIL ∗ cos αi(y) - cw(y)XFOIL ∗ sin αi(y)
cw(y)H= cw(y)XFOIL ∗ cos αi(y) + ca(y)XFOIL ∗ sin αi(y)
cm(y)H= cm(y)XFOIL

Für y=75% sieht das so aus:
ca(75%)H= 0,2933 ∗ cos 2,283° - 0,01064 ∗ sin 2,283° = 0,29307 - 0,000424 = 0,2926
cw(75%)H= 0,01064 ∗ cos 2,283° + 0,2933 ∗ sin 2,283° = 0,01063 + 0,011684 = 0,02232
cm(75%)H= 0,0074


Im nächsten Schritt werden alle auf diese Art ermittelten Auftriebsbeiwerte an den jeweiligen Indexstellen auf der Rotorblattachse aufgetragen. Mit der bekannten Auftriebsformel wird an jeder Indexstelle der erzeugte Auftrieb ermittelt. Als "Flügelbreite" wird die Elementbreite zwischen den Indexstellen genommen.
Auftriebsverteilung

Die einzelnen Auftriebswerte werden aufsummiert und da jedes Rotorblatt (im Schwebeflug) die gleiche Menge Auftrieb produziert, auch noch mit der Anzahl der Rotorblätter multipliziert. Bei 5° geometrischen Anstellwinkel wird mit zwei Rotorblättern 2 ∗ 20,1274 = 40,25 N Auftrieb produziert.
Der Hubschrauber wiegt: Fg = 34,335 N < 40,25 N ⇒ Es wird mit 5° geometrischen Anstellwinkel mehr Auftrieb erzeugt als für den Schwebeflug nötig ist. Halt!

Wie oben als 2.) Aufgabe geschrieben, wird es beim Betrachten der Auftriebsverteilung nötig, die oben getroffene konstante Abwindverteilung zu überarbeiten. Im Zentrum (der Bereich der Rotorwelle und Blatthalter) wird keine Luft vertikal beschleunigt, am Rotorblattanfang (innen) wird sogar Abtrieb erzeugt, also die Luft andersherum als angenommen von unten nach oben beschleunigt. Erst ab ca. 40% Rotorblattlänge wird die Luft nach unten beschleunigt.

Oben wurde mit dieser Formel der induzierte Abwind errechnet:
vi = √(Heligewicht ∗ Erdbeschleunigung / (2 ∗ Luftdichte ∗ Rotorkreisfläche))

Was spricht dagegen, statt der Hubschrauber Gewichtskraft, die eben ermittelten Teilauftriebskräfte dort einzusetzen?
Für den Schwebeflug muss der Impuls nach oben (Auftrieb) gleich groß dem Impuls der nach unten beschleunigten Luftmasse sein. Dann lässt sich überprüfen, ob der Impuls der Teilauftriebskraft auch die angenommene Abwindgeschwindigkeit erzeugt. Gleichzeitig wird anstatt der gesamten Rotorfläche, nur die Kreisringfläche an der jeweiligen Position (y) angesetzt.
Flächenermittlung Kreisring

Ermittlung der Fläche des Kreisringes:
F(y) = π ∗ (R² - r²) ⇔ π ∗ ((r(75%) + Δli(75%)/2)² - (r(75%) - Δli(75%)/2)²)
F(75%) = π ∗ ((0,50625 + 0,03375/2)² - (0,50625 - 0,03375/2)²)
F(75%) = π ∗ (0,523125² - 0,489375²) = π ∗ 0,034172 = 0,10735 m²

Ermittlung der (neuen) Abwindgeschwindigkeit in diesem Kreisring:
vi(y)NEU = √(A(y)H / (2 ∗ ρ ∗ F(y)))
vi(75%)NEU = √(1,9045 / (2 ∗ 1,1939 ∗ 0,10735)) ⇒ vi(75%)NEU = 2,7258 m/s < vi(75%) = 3,1695 m/s

Die neu ermittelte Vertikalgeschwindigkeit der Luft ist an der 75% Stelle kleiner, als die vorher angenommene (über den gesamten Rotorkreis konstante) Vertikalgeschwindigkeit. Damit ist der erste Durchlauf der Iterationsschleife durchgeführt. Das bedeutet, das die Ermittlung des induzierten und effektiven Anstellwinkels, der XFoil-Daten, das Umrechnen in das Hubschrauber-Koordinatensystem und das berechnen der Teilauftriebskraft solange durchgeführt wird, bis die alte und neue Vertikalgeschwindgkeiten sich angenähert haben.

Ein guter Freund und Lehrmeister (Grüße an Andi ) gab mir den Tipp mit, nicht direkt (also nicht zu 100%) den neuen Wert zu benutzen.
Was meint er damit?
Rechenergebnisse können bei Iterationen zum Springen neigen. Es gibt eine Methode um aus einem Gummiball einen schnell im Ziel liegenbleibenden Softball zu machen. Ich bezeichne die Methode gerne salopp als: Iteration mit angezogenen Handbremse. (In Fachkreisen spricht man von Relaxation.)

Wird die "Handbremse" zu 20% angezogen, ergibt sich folgende Rechenvorschrift:
vi(y)2 = 0,8 ∗ vi(y)NEU + 0,2 ∗ vi(y)ALT
vi(y)2 = 0,8 ∗ 2,7258 + 0,2 ∗ 3,1695
vi(y)2 = 2,8145 m/s

Mit dieser "gedämpften" Vertikalgeschwindigkeit, beginnt der zweite Durchgang der Iterationsschleife. Zuerst wird der induzierte Anstellwinkel berechnet.
αi(y)2 = atan(vi(y)2 / vt(y))
αi(75%)2 = atan(2,8145 / 79,5)= 2,0276°

Der effektive Anstellwinkel ist:
αeff(y)2 = αg(y) - αi(y)2
αeff(75%)2 = 5,0° - 2,027° = 2,9724°

Die Profil-Anströmgeschwindigkeit ergibt sich aus dem Pythagoras:
vy = √(vt(y)² + vi(y)²)
v75% = √(79,5² + 2,8145²)= 79,5498 m/s

Die Re-Zahl ist:
Re = ρ ∗ v ∗ t / η
Re = 1,1939 ∗ 79,5498 ∗ 0,051 / 18,24∗10-6 = 265 554

Das XFoil-Programm liefert:
ca(y)XFOIL = 0,3282
cw(y)XFOIL = 0,01091
cm(y)XFOIL = 0,0064

Die Profilbeiwerte werden in das Hubschrauber Koordinatensystem umgerechnet (um αi(75%) gedreht):
ca(y)H= ca(y)XFOIL ∗ cos αi(y) - cw(y)XFOIL ∗ sin αi(y)
cw(y)H= cw(y)XFOIL ∗ cos αi(y) + ca(y)XFOIL ∗ sin αi(y)
cm(y)H= cm(y)XFOIL

ca(75%)H= 0,3282 ∗ cos 2,0276° - 0,01091 ∗ sin 2,0276° = 0,3276
cw(75%)H= 0,01091 ∗ cos 2,0276° + 0,3282 ∗ sin 2,0276° = 0,02252
cm(75%)H= 0,0064

Die Auftriebskraft des Ringelementes ergibt sich aus:
A(y)= 1/2 ∗ ρ ∗ ca(y)H ∗ v(y)² ∗ c(y) ∗ Δli(y)
A(y)= 1/2 ∗ 1,1939 ∗ 0,3282 ∗ 79,5498² ∗ 0,051 ∗ 0,03375 = 2,134 N

Zur Kontrolle dieser zweiten Iteration wird erneut die Vertikalgeschwindigkeit ermittelt:
vi(y)NEU = √(A(y)H / (2 ∗ ρ ∗ F(y)))
vi(75%)NEU = √(2,134 / (2 ∗ 1,1939 ∗ 0,10735)) ⇒ vi(75%)NEU = 2,8854 m/s > vi(75%) = 2,8145 m/s

Fazit der ersten beiden Iterationsschleifen (am Blattelement y=75%):
0. Durchgang: vi(75%) = 3,1695 m/s
1. Durchgang: vi(75%) = 2,7258 m/s ⇒ Unterschied = 0,4437
2. Durchgang: vi(75%) = 2,8854 m/s ⇒ Unterschied = 0,0709 (bezogen auf den "Handbremsenwert" 2,8145 m/s)

Da die Rechnugen ja so viel Spaß machen, starte ich noch einen dritten Iterationsdurchgang.
Die Handbremsen-Formel:
vi(y)2 = 0,8 ∗ vi(y)NEU + 0,2 ∗ vi(y)ALT = 2,8712 m/s

Induzierter Anstellwinkel:
αi(y) = atan(vi(y) / vt(y)) = 2,0684°

Effektive Anstellwinkel:
αeff(y) = αg(y) - αi(y) = 2,9316°

Profil-Anströmgeschwindigkeit:
vy = √(vt(y)² + vi(y)²) = 79,5518 m/s

Die Re-Zahl ist:
Re = ρ ∗ v ∗ t / η = 265 560

XFoil-Werte:
ca(y)XFOIL = 0,3222
cw(y)XFOIL = 0,01086
cm(y)XFOIL = 0,0066

Umrechnung in das Hubschrauber Koordinatensystem:
ca(y)H= ca(y)XFOIL ∗ cos αi(y) - cw(y)XFOIL ∗ sin αi(y) = 0,3224
cw(y)H= cw(y)XFOIL ∗ cos αi(y) + ca(y)XFOIL ∗ sin αi(y) = 0,02248
cm(y)H= cm(y)XFOIL = 0,0066

Ringelement-Auftriebskraft:
A(y)= 1/2 ∗ ρ ∗ ca(y)H ∗ v(y)² ∗ c(y) ∗ Δli(y) = 2,09629 N

Die Vertikalgeschwindigkeit der dritten Iteration lautet:
vi(y)NEU = √(A(y)H / (2 ∗ ρ ∗ F(y))) = 2,8597 m/s

Fazit der drei Iterationsschleifen (am Blattelement y=75%):
0. Durchgang: vi(75%) = 3,1695 m/s
1. Durchgang: vi(75%) = 2,7258 m/s ⇒ Unterschied = 0,4437
2. Durchgang: vi(75%) = 2,8854 m/s ⇒ Unterschied = 0,0709 (bezogen auf den "Handbremsenwert" 2,8145 m/s)
3. Durchgang: vi(75%) = 2,8597 m/s ⇒ Unterschied = 0,0115 (bezogen auf den "Handbremsenwert" 2,8712 m/s)

Ein Durchgang geht noch...
Die Handbremsen-Formel:
vi(y)2 = 0,8 ∗ vi(y)NEU + 0,2 ∗ vi(y)ALT = 2,8620 m/s

Induzierter Anstellwinkel:
αi(y) = atan(vi(y) / vt(y)) = 2,0618°

Effektive Anstellwinkel:
αeff(y) = αg(y) - αi(y) = 2,9382°

Profil-Anströmgeschwindigkeit:
vy = √(vt(y)² + vi(y)²) = 79,5515 m/s

Die Re-Zahl ist:
Re = ρ ∗ v ∗ t / η = 265 559

XFoil-Werte:
ca(y)XFOIL = 0,3232
cw(y)XFOIL = 0,01087
cm(y)XFOIL = 0,0066

Umrechnung in das Hubschrauber Koordinatensystem:
ca(y)H= ca(y)XFOIL ∗ cos αi(y) - cw(y)XFOIL ∗ sin αi(y) = 0,3226
cw(y)H= cw(y)XFOIL ∗ cos αi(y) + ca(y)XFOIL ∗ sin αi(y) = 0,02249
cm(y)H= cm(y)XFOIL = 0,0066

Ringelement-Auftriebskraft:
A(y)= 1/2 ∗ ρ ∗ ca(y)H ∗ v(y)² ∗ c(y) ∗ Δli(y) = 2,0977 N

Die Vertikalgeschwindigkeit der dritten Iteration lautet:
vi(y)NEU = √(A(y)H / (2 ∗ ρ ∗ F(y))) = 2,8607 m/s

Fazit der vier Iterationsschleifen (am Blattelement y=75%):
0. Durchgang: vi(75%) = 3,1695 m/s
1. Durchgang: vi(75%) = 2,7258 m/s ⇒ Unterschied = 0,4437
2. Durchgang: vi(75%) = 2,8854 m/s ⇒ Unterschied = 0,0709 (bezogen auf den "Handbremsenwert" 2,8145 m/s)
3. Durchgang: vi(75%) = 2,8597 m/s ⇒ Unterschied = 0,0115 (bezogen auf den "Handbremsenwert" 2,8712 m/s)
4. Durchgang: vi(75%) = 2,8607 m/s ⇒ Unterschied = 0,0013 (bezogen auf den "Handbremsenwert" 2,8620 m/s)

vi Iteration
Eine Abweichung von 1,3 mm pro Sekunde in der induzierten vertikalen Luftströmung, sollte OK sein. Damit ist die Iteration beendet und alle Werte an dem Blattelement y=75% bestimmt. Dieser Iterationsvorgang wird jetzt "nur" noch an allen anderen Blattelementen durchgeführt (und dann gehofft, dass der geratene Anstellwinkel αg = 5° richtig war).


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